Решить раму, представленную на рис. 12.11.

Рис. 12.11.

Если не использовать свойств симметричных систем, то для раскрытия статической неопределимости потребовалось бы решать систему из шести линейных алгебраических уравнений. Использование свойств симметрии упрощает решение задачи. Один из стержней рамы совпадает с вертикальной осью симметрии. Поэтому основную систему выберем разрезом боковых стержней рамы по горизонтальной оси симметрии. Чтобы эквивалентная система была симметричной, внешние силы P отнесем равными частями к обеим сторонам разреза.

В силу симметрии рамы относительно вертикальной оси силовые факторы в проведенных сечениях равны по величине и противоположны по направлению, а вследствие симметрии относительно горизонтальной оси перерезывающие силы в этих сечениях равны нулю. Система канонических уранений имеет вид

Перемножая эпюры (см. рис. 12.11), находим коэффициенты этой системы

.

Решение канонических уравнений дает X₁=Pa³/3, X₁=P/8. Суммарная эпюра приведена на рис. 12.11.

Рассмотрим теперь обратно симметричные стержневые системы.

Геометрически симметричные стержневые системы с нагрузкой, обратно симметричной относительно оси (плоскости) симметрии системы, называются обратно симметричными, или косо симметричными.

Перемещения симметричных сечений такой системы и одноименные внутренние силовые факторы в них равны по величине и обратно симметричны по направлению. В сечении на оси симметрии симметричные силовые факторы всегда равны нулю, так как они вызывают симметричные деформации, не соответствующие характеру деформаций от заданной нагрузки.

Подтвердим изложенное на примере плоской обратно симметричной рамы (рис. 12.12). Выберем основную систему разрезом рамы по оси симметрии и построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок и единичных усилий, приложенных вместо искомых силовых факторов (см. рис. 12.12).

Рис. 12.12.

Составим канонические уравнения

Вычислим коэффициенты этой системы способом Верещагина.

Так как произведение симметричной эпюры на обратно симметричную равно нулю, то δ_2P=0, δ_3P=0, δ₃₁=δ₁₃=0, δ₂₁=δ₁₂=0.

Итак, система канонических уравнений распадается на две, группы

Вторая группа представляет собой систему линейных однородных уравнений, определитель которой отличен от нуля. Отсюда следует, что нормальная сила X₂ и изгибающий момент X₃ в сечении по оси симметрии рамы равны нулю.

Итак, подтверждено, что в сечении по оси симметрии обратно симметричной стержневой системы симметричные силовые факторы - изгибающие моменты и нормальные силы равны нулю и могут действовать только обратно симметричные силовые факторы. А это означает, что в симметричных сечениях (в том числе и опорных) обратно симметричных стержневых систем силовые факторы равны по величине и обратно симметричны по направлению.

Использование в расчетах отмеченных свойств обратно симметричных систем позволяет существенно упростить решение задачи.

Для рассматриваемой на рис. 12.12 задачи коэффициенты канонического уравнения будут:

.

Таким образом .

Суммарная эпюра изгибающих моментов имеет обратно симметричный вид (см. рис. 12.12).